В фамилии на первый взгляд слышится немного искаженное "бузинник" — заросли, кусты бузины. Но это скорее всего неверно.
Чаще всего подобные фамилии происходят от корня "буза" — хмельной напиток типа бражки или же пьяная свара. Отсюда — "бузить", "бузотер". Скорее всего, один из давних предков был выпивохой, любил побузить и получил в ближайшем окружении прозвище "бузынник" — отсюда и фамилия.